题目

题型：解答题难度：困难来源：福建省高考真题

已知f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），且f（x）在区间[-1，4]上的最大值是12。（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在实数m，使得方程 f（x）+=0在区间（m，m+1）内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。

答案

解：（1）∵f（x）是二次函数，且的解集是
∴可设
∴f（x）在区间上的最大值是
由已知，得
∴a=2
∴。
（2）方程等价于方程
设
则
当时，，h（x）是减函数
当时，，h（x）是增函数
∵
∴方程在区间内分别有惟一实数根，
而在区间内没有实数根
所以存在惟一的自然数，使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根。