题目

题型：解答题难度：一般来源：山东省期末题

已知函数f（x）=x²+2x+alnx．
（1）若函数f（x）在区间（0，1）上是单调函数，求实数a的取值范围；
（2）当t≥1时，不等式f（2t﹣1）≥2f（t）﹣3恒成立，求实数a的取值范围．

答案

解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞）
∵f（x）=x²+2x+alnx
∴（x＞0），
设g（x）=2x²+2x+a，则g（x）=
，∵函数f（x）在区间（0，1）上为单调增函数，
∴g（0）≥0，或g（1）≤0，
∴a≥0，或2+2+a≤0，
∴实数a的取值范围是{a|a≥0，或a≤﹣4}．
（2）不等式f（2t﹣1）≥2f（t）﹣3可化为
2t²﹣4t+2≥alnt²﹣aln（2t﹣1）
∴2t²﹣alnt²≥2（2t﹣1）﹣aln（2t﹣1）
令h（x）=2x﹣alnx（x≥1），则问题可化为h（t²）≥h（2t﹣1）
∵t≥1，
∴t²≥2t﹣1
要使上式成立，只需要h（x）=2x﹣alnx（x≥1）是增函数即可
即在[1，+∞）上恒成立，
即a≤2x在[1，+∞）上恒成立，
故a≤2
∴实数a的取值范围是（﹣∞，2]．