题目

题型：解答题难度：困难来源：上海期末题

设函数．
（1）当b=0时，已知f（x）在[2，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（2）当a是整数时，存在实数x₀，使得f（x₀）是f（x）的最大值，且g（x₀）是g（x）的最小值，求所有这样的实数对（a，b）；
（3）定义函数h（x）=﹣（x﹣2k）²﹣2（x﹣2k），x∈（2k﹣2，2k），k=0，1，2，…，则当h（x）取得最大值时的自变量x的值依次构成一个等差数列，写出该等差数列的通项公式（不必证明）．

答案

解：（1）当b=0 时，f（x）=ax²﹣4x，
若a=0，则f（x）=﹣4x 在[2，+∞） 上递减，不合题意，舍去；故a≠0，
要使f（x） 在[2，+∞） 上单调递增，
则 ，即a≥1；
（2）若a=0，则f（x）=﹣2 x无最大值，不合题意，故a≠0，
于是f（x）为二次函数，f（x）有最大值 ，
此时，当x=x₀= 时，f（x）取到最大值，
显然，当且仅当x=x0=a时，g（x）取到最小值，故 =a∈Z，
于是a²=  
又a∈Z，a＜0，所以a=﹣1，b=﹣1，3，
所以满足题意的实数对为（a，b）=（﹣1，﹣1）或（a，b）=（﹣1，3）；
（3）∵h（x）=﹣x²+4kx﹣4k²﹣2x+k=﹣[x﹣（2k﹣1）]²+1
∴h（x）取得最小值时x的值为2k﹣1（k∈N），
∴x_n=2n﹣3，n∈N*．