题目
题型:解答题难度:困难来源:江苏月考题
(1)求g(x)的表达式;
(2)若x>0使f(x)≤0成立,求实数m的取值范围;
(3)设1<m≤e,H(x)=f(x)﹣(m+1)x,
证明:对x1,x2∈[1,m],恒有|H(x1)﹣H(x2)|<1.
答案
于是g(x﹣1)+g(1﹣x)=2a(x﹣1)2+2c=2(x﹣1)2﹣2,
所以
又g(1)=﹣1,则.
所以.
(2).
当m>0时,由对数函数性质,f(x)的值域为R;
当m=0时,对x>0,f(x)>0恒成立;
当m<0时,由,
列表:
.
.
所以若x>0,f(x)>0恒成立,则实数m的取值范围是(﹣e,0].
故x>0使f(x)≤0成立,实数m的取值范围(﹣∞,﹣e]∪(0,+∞).
(3)因为对x∈[1,m],,
所以H(x)在[1,m]内单调递减.
于是.
.
记,则,
所以函数在(1,e]是单调增函数,
所以,
故命题成立.
核心考点
试题【已知二次函数g(x)对任意实数x都满足g(x﹣1)+g(1﹣x)=x2﹣2x﹣1,且g(1)=﹣1.令.(1)求g(x)的表达式;(2)若x>0使f(x)≤0成】;主要考察你对二次函数的图象和性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)当函数f(x)的图象过点(﹣1,0),且方程f(x)=0有且只有一个根,求f(x)的表达式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,当x∈[﹣2,2]时,g(x)=f(x)﹣kx是单调函数,求实数k的取值范围;
(Ⅲ)若 当mn<0,m+n>0,a>0,且函数f(x)为偶函数时,试判断F(m)+F(n)能否大于0?
f(x)+6a=0有两个相等实根,求f(x)的解析式.
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