题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
对于函数f(x)=ax2+bx+1(a>0),如果方程f(x)=x有相异两根x1,x2.
(1)若x1<1<x2,且f(x)的图象关于直线x=m对称.求证:m>
1 |
2 |
(2)若0<x1<2且|x1-x2|=2,求证:4a+2b<1;
(3)α、β为区间[x1,x2]上的两个不同的点,求证:2aαβ-(1-b)(a+β)+2<0.
答案
∵x1<1<x2,∴(x1-1)(x2-1)<0,即x1x2<x1+x2-1,
于是x=m即x=-
b |
2a |
1 |
2 |
b-1 |
a |
1 |
a |
∴m=
1 |
2 |
b-1 |
a |
1 |
a |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
即不等式m>
1 |
2 |
(2)由方程g(x)=ax2+(b-1)x+1=0,可得x1x2=-
1 |
a |
由0<x1<2且|x1-x2|=2,得x2-x1=2
∴x2=x1+2>2,
由此可得2∈(x1,x2),得g(2)<0,
所以4a+2b-1<0,可得4a+2b<1;
(3)由前面的结论,得x1+x2=
-b+1 |
a |
1 |
a |
α、β为区间[x1,x2]上的两个不同的点,不妨设α<β
0>2(α-x1)(β-x2)
∵2(α-x1)(β-x2)=2αβ-2(βx1+αx2)+2x1x2
=2αβ-(x1+x2)(α+β)+2x1x2+(x1-x2)(α-β)>2αβ-(x1+x2)(α+β)+2x1x2
且2αβ-(x1+x2)(α+β)+2x1x2=
2aαβ-(1-b)(α-β)+2 |
a |
∴0>
2aαβ-(1-b)(α-β)+2 |
a |
结合a>0,可得2aαβ-(1-b)(a+β)+2<0.
核心考点
试题【(第一、二层次学校的学生做)对于函数f(x)=ax2+bx+1(a>0),如果方程f(x)=x有相异两根x1,x2.(1)若x1<1<x2,且f(x)的图象关于】;主要考察你对二次函数的图象和性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
3 |
1 |
2 |
PA |
PF |
A.-1 | B.1 | C.-2 | D.2 |
(1)求a,b的值;
(2)求函数f(x)=x2-2ax+b在闭区间[0,3]上的最值.
A.(0,1) | B.(1,2) | C.(1,2] | D.[
|
3 |
2 |
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