题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

关于二次函数学生甲有以下观点：①二次函数必有最大值；②二次函数必有最小值；③闭区间上的二次函数必定同时存在最大值，最小值；④对于命题③，最值一定在区间端点取得．你认为学生甲正确的观点序号是 ______．根据你的判断试解决下述问题：已知函数f（x）=ax²+（2a-1）x+1在[-

3

2

，2]上的最大值为3，求实数a的值．

答案

（1）③（2分）
（2）当a=0时，f（x）=-x+1在[-

3

2

，2]上的最大值为
f(-

3

2

) =

5

2

≠3不合题意，舍去；（3分）
当a≠0时，
①令f(-

2a-1

2a

) =3得a=-

1

2

，此时抛物线开口向下，对称轴x=-2，
且-2∉[-

3

2

，2]，故a= -

1

2

不合题意，舍去；（6分）
②令f（2）=3，得a=

1

2

，此时抛物线开口向上，
闭区间的右端点距离对称轴较远，故a=

1

2

符合题意；（9分）
③若f(-

3

2

) =3得a=-

2

3

经检验符合题意，（12分）
综上可知：实数a的值为a=

1

2

或a=-

2

3

（13分）