均值不等式及其变形

　　一般形式

　　设函数(当r不等于0时);

　　(当r=0时)特例可以注意到，Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形。

　　特例

　　可以注意到，Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即最著名的当属算术—几何均值不等式(AM-GM不等式)：

　　当n=2时，上式即：

　　当且仅当时，等号成立。

　　根据均值不等式的简化，有一个简单结论，中学常用，即。

　　记忆

　　调几算方，即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数。

　　均值不等式的变形

　　(1)对实数a,b，有a^2+b^2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)，a^2+b^2>0>-2ab

　　(2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a*b)≥0，即(a+b)/2≥√(a*b)≥0

　　(3)对负实数a,b，有a+b<0<2√(a*b)

　　(4)对实数a,b，有a(a-b)≥b(a-b)

　　(5)对非负数a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0

　　(6)对非负数a,b，有a^2+b^2≥1/2*(a+b)^2≥2ab

　　(7)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2

　　(8)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac

　　(9)对非负数a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2

　　(10)对实数a,b,c，有(a+b+c)/3>=(abc)^(1/3)