题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

（Ⅰ）观察①tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=1
    ②tan5°tan10°+tan10°tan75°+tan75°tan5°=1
由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论．
（Ⅱ）函数f（x）=-x²+2ax+1-a在区间[0，1]上有最大值2，求实数a的值．

答案

（I）观察①、②，可得：
若锐角α，β，γ满足α+β+γ=90°，
则tanαtanβ+tanβtanγ+tanαtanγ=1．
（II）对称轴x=a，
当a＜0时，[0，1]是f（x）的递减区间，f（x）_max=f（0）=1-a=2
∴a=-1；
当a＞1时，[0，1]是f（x）的递增区间，f（x）_max=f（1）=a=2
∴a=2；
当0≤a≤1时，f（x）_max=f（a）=）=a²-a+1=2，
解得a=

1± 5

2

，与0≤a≤1矛盾；
所以a=-1或a=2．