题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=x²-2ax+5（a＞1）．
（1）若f（x）的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；
（2）若f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，且对任意的x₁，x₂∈[1，1+a]，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤9，求实数a的取值范围．

答案

（1）∵f（x）=（x-a）²+5-a²（a＞1），
∴y=f（x）在[1，a]上是减函数，…（2分）
又定义域和值域均为[1，a]，∴

f(1)=a f(a)=1

，…（4分）
即

1-2a+5=a a2-2a2+5=1

，解得 a=2．                                     …（6分）
（2）∵f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，∴a≥2，…（7分）
又对称轴为x=a，a∈[1，a+1]，且（a+1）-a≤a-1
∴f（x）_max=f（1）=6-2a，f（x）_min=f（a）=5-a²．                 …（10分）
∵对任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤9，
∴f（x）_max-f（x）_min≤9，
即 （6-2a）-（5-a²）≤9，解得-2≤a≤4，…（13分）
又a≥2，∴2≤a≤4．                                               …（14分）