题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
1 |
2 |
(1)当m=2时,求函数f(x)的最小值;
(2)当m≤0时,讨论函数f(x)的单调性;
(3)求证:当m=-2时,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,有
f(x2)-f(x1) |
x2-x1 |
答案
当m=2时,f′(x)=
x2+x-2 |
x |
(x-1)(x+2) |
x |
∴当x∈(0,1)时,f"(x)<0,
x∈(1,+∞),f"(x)>0.
∴f(x)在x=1时取得最小值,其最小值为f(1)=
3 |
2 |
(2)∵f′(x)=x-
m |
x |
x2+(m-1)x-m |
x |
(x-1)(x+m) |
x |
∴①当-1<m≤0即-m<1时,
若x∈(0,-m)时,f"(x)>0,f(x)为增函数;
x∈(-m,1)时,f"(x)<0,f(x)为减函数;
x∈(1,+∞)时,f"(x)>0,f(x)为增函数
②当m=-1时,
f′(x)=
(x-1)2 |
x |
③当m<-1即-m>1时,
x∈(0,1)时,f"(x)>0,f(x)为增函数;
x∈(1,-m)时,f"(x)<0,f(x)为减函数;
x∈(-m,+∞)时,f"(x)>0,f(x)为增函数.
证明:(3)不妨设0<x1<x2,要证明
f(x2)-f(x1) |
x2-x1 |
即证明:f(x2)+x2>f(x1)+x1
当m=-2时,函数f(x)=
1 |
2 |
考查函数h(x)=f(x)+x=
1 |
2 |
∵h′(x)=x+
2 |
x |
x2-2x+2 |
x |
(x-1)2+1 |
x |
∴h(x)在(0,+∞)上是增函数,
对任意0<x1<x2,h(x2)>h(x1),
所以f(x2)+x2>f(x1)+x1,
∴
f(x2)-f(x1) |
x2-x1 |
命题得证
核心考点
试题【已知函数f(x)=12x2-mlnx+(m-1)x,m∈R.(1)当m=2时,求函数f(x)的最小值;(2)当m≤0时,讨论函数f(x)的单调性;(3)求证:当】;主要考察你对二次函数的图象和性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.a<-2 | B.a>-2 | C.a>-6 | D.a<-6 |
|
A.R | B.[-9,+∞) | C.[-8,1] | D.[-9,1] |
(1)分别求出函数f(x)和g(x)的解析式;
(2)如果函数y=g(f(x))在区间[1,m)上单调递减,求m的取值范围.
A.(-∞,-5) | B.(-∞,-2)∪(5,+∞) |
C.(-∞,-5)∪(2,+∞) | D.(-∞,-5)∪(-2,+∞) |
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