题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
1 |
x |
(1)求Φ(x)=g(x)+kf(x)(k<0)的单调区间;
(2)若对所有的x∈[e,+∞),都有xf(x)≥ax+a成立,求a的取值范围.
答案
1 |
x |
φ′(x)=1+
1 |
x2 |
k |
x |
x2+kx+1 |
x2 |
记函数h(x)=x2+kx+1,其判别式△=k2-4.
①当△=k2-4≤0,(k<0),即-2≤k<0时,g(x)≥0恒成立,
∴φ′(x)≥0在(0,+∞)恒成立,φ(x)在区间(0,+∞)上递增.
②当△=k2-4>0,(k<0)即k<-2时,
方程h(x)=0有两个不等的实根x1=
-k-
| ||
2 |
-k+
| ||
2 |
若x1<x<x2,则h(x)<0,∴φ′(x)<0,
∴φ(x)在区间(x1,x2)上递减;
若x>x2或0<x<x1,则g(x)>0,∴φ′(x)>0,
∴φ(x)在区间(0,x1)和(x2,+∞)上递增.
综上可知:当-2≤k<0时,φ(x)的递增区间为(0,+∞);
当k<-2时,φ(x)的递增区间为(0,
-k-
| ||
2 |
-k+
| ||
2 |
递减区间为(
-k-
| ||
2 |
-k+
| ||
2 |
(2)∵x≥e,∴xlnx≥ax+a⇔a≤
xlnx |
x+1 |
令t(x)=
xlnx |
x-1 |
x+lnx+1 |
(x+1)2 |
∵当x≥e时,(x+lnx+1)′=1+
1 |
x |
∴函数y=x+lnx+1在[e,+∞)上是增函数,
∴x+lnx+1≥e+lne+1=e+2>0,h′(x)>0,
∴t(x)的最小值为h(e)=
e |
e+1 |
∴a≤
e |
e+1 |
核心考点
试题【设函数f(x)=lnx,g(x)=x-1x.(1)求Φ(x)=g(x)+kf(x)(k<0)的单调区间;(2)若对所有的x∈[e,+∞),都有xf(x)≥ax+】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.Y=2x | B.y=x3+2x | C.y=-sinx | D.y=-
|
1 |
2 |
x-y |
1-xy |
1 |
2 |
2xn | ||
1+
|
(Ⅰ)求f(0),并证明f(x)为奇函数;
(Ⅱ)求数列{f(xn)}的通项公式;
(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的数列{f(xn)},证明:
n |
2 |
5 |
6 |
f(x1)-1 |
f(x2)-1 |
f(x2)-1 |
f(x3)-1 |
f(xn)-1 |
f(xn+1)-1 |
n |
2 |
A.f(x)=-x(1-x) | B.f(x)=x(1+x) | C.f(x)=-x(1+x) | D.f(x)=x(x-1) |
|
A.(1,+∞) | B.[
| C.(-∞,3) | D.(1,3) |
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