题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(1)若m=1求不等式g(x)≥0的解集;
(2)求函数g(x)在[3,+∞)上的最小值;
(3)若对任意x1∈(-∞,4],均存在x2∈[3,+∞),使得f(x1)>g(x2)成立,求实数m的取值范围.
答案
不等式g(x)≥0,即x|x-1|-6≥0,
①当x≥1时,不等式转化为x2-x-6≥0,解之得x≥3或x≤-2
因为x≤-2不满足x≥1,所以此时x≥3
②当x<1时,不等式转化为-x2+x-6≥0,不等式的解集是空集
综上所述,不等式g(x)≥0的解集为[3,+∞);
(2)g(x)=xf(x)+m2-7m=
|
∴当m>0时,g(x)在区间(-∞,
m |
2 |
m |
2 |
当m<0时,g(x)在区间(-∞,m)和(
m |
2 |
m |
2 |
当m=0时,g(x)在区间(-∞,+∞)上是增函数.
∵定义域为x∈[3,+∞),
∴①当m≤3时,g(x)在区间[3,+∞)上是增函数,得g(x)的最小值为g(3)=m2-10m+9;
②当m>3时,因为g(0)=g(m)=m2-7m,结合函数g(x)的单调性,得g(3)>g(m)
∴g(x)的最小值为g(m)=m2-7m.
综上所述,得g(x)的最小值为
|
(3)f(x)=
|
因为x∈(-∞,4],所以当m<4时,f(x)的最小值为f(m)=0;
当m≥4时,f(x)的最小值为f(4)=m-4.
由题意,f(x)在(-∞,4]上的最小值大于g(x)在[3,+∞)上的最小值,结合(2)得
①当m≤3时,由0>m2-10m+9,得1<m<9,故1<m≤3;
②当3<m<4时,由0>m2-7m,得1<m<7,故3<m<4;
③当m≥4时,由m-4>m2-7m,得4-2
3 |
3 |
3 |
综上所述,实数m的取值范围是(1,4+2
3 |
核心考点
试题【已知函数f(x)=|x-m|,函数g(x)=xf(x)+m2-7m.(1)若m=1求不等式g(x)≥0的解集;(2)求函数g(x)在[3,+∞)上的最小值;(3】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
1 |
4x+1 |
1 |
x+b |
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)证明:曲线y=f(x)的图象是一个中心对称图形,并求其对称中心Q;
(3)证明:线段PM,PN长度的乘积PM•PN为定值;并用点P横坐标x0表示四边形QMPN的面积..
5b |
x |
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