题目

题型：填空题难度：一般来源：不详

设函数f（x）的定义域为D，若对于任意的x₁∈D，存在唯一x₂∈D的使

f(x1)+f(x2)

2

=C（C为常数），则称函数f（x）在D上的均值为C．给出下列四个函数：①y=x²；②y=x；③y=2^x；④y=lgx；则满足其在定义域上均值为2的所有函数是______（填写序号）．

答案

对于函数①y=x²，取任意的x₁∈R，

f(x1)+f(x2)

2

=

x 21 + x 22

2

=2，x2=±

4- x 12

，可以两个的x₂∈D．故不满足条件．
对于函数②y=x，可直接取任意的x₁∈R，验证求出唯一的 x₂=4-x₁，即可得到成立．故②对．
对于函数③y=2^x定义域为R，值域为y＞0．对于x₁=3，f（x₁）=8．要使

f(x1)+f(x2)

2

=2成立，则f（x₂）=-4，不成立．
对于函数④y=lgx，定义域为x＞0，值域为R且单调，显然必存在唯一的x₂∈D，使

f(x1)+f(x2)

2

=2成立．故成立．
故答案为②④