设函数，其中常数a＞1，f（x）=13x3-（1+a）x2+4ax+24a（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若当x≥0时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设函数，其中常数a＞1，f（x）=

x³-（1+a）x²+4ax+24a
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若当x≥0时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

答案

（1）f"（x）=x²-2（1+a）x+4a=（x-2）（x-2a）
由a＞1知，当x＜2时，f"（x）＞0，
故f（x）在区间（-∞，2）是增函数；
当2＜x＜2a时，f"（x）＜0，
故f（x）在区间（2，2a）是减函数；
当x＞2a时，f"（x）＞0，
故f（x）在区间（2a，+∞）是增函数．
综上，当a＞1时，f（x）在区间（-∞，2）和（2a，+∞）是增函数，
在区间（2，2a）是减函数．
（2）由（1）知，当x≥0时，f（x）在x=2a或x=0处取得最小值．
f(2a)=

(2a)3-(1+a)(2a)2+4a•2a+24a=-

a3+4a2+24a，f（0）=24a
由假设知

a＞1

f(2a)＞0

f(0)＞0

即

a＞1

a(a+3)(a-6)＞0

24a＞0.

解得1＜a＜6
故a的取值范围是（1，6）

核心考点

试题【设函数，其中常数a＞1，f（x）=13x3-（1+a）x2+4ax+24a（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若当x≥0时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．】；主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]

举一反三

函数f(x)=xα2-2α-3（常数α∈Z）为偶函数，且在（0，+∞）上是单调递减函数，则α的值为______．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

设f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时是单调函数，则满足f(2x)=f(

x+1

x+4

)的所有x之和为（　　）

A．-

B．-

C．-8

D．8

题型：单选题难度：一般| 查看答案

若存在常数p＞0，使得函数f（x）满足f（px）=f（px-

）（x∈R），则f（x）的一个正周期为______．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

（1）试用ε-δ语言叙述“函数f（x）在点x=x₀处连续的定义；
（2）试证明：若f（x）在点x=x₀处连续，且f（x₀）＞0，则存在一个x₀的（x₀-δ，x₀+δ），在这个邻域内，处处有f（x）＞0．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足：f（ab）=af（b）+bf（a）．
（1）求f（0）及f（1）的值；
（2）判断的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若f(2)=2，un=

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