题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=x²-x，g（x）=lnx．
（1）求证：f（x）≥g（x）；
（2）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的值；
（3）设F（x）=f（x）+mg（x）（m∈R）有两个极值点x₁、x₂（x₁＜x₂）；求实数m的取值范围，并证明：F(x2)＞-

3+4ln2

16

．

答案

（1）设G（x）=x²-x-lnx，
故G′(x)=

(2x+1)(x-1)

x

（x＞0）…2"
∴G（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增
∴G（x）≥G（1）=0
∴f（x）≥g（x）…2"
（2）令h（x）=f（x）-ag（x）
∵h（1）=0
所以h（x）≥0的必要条件是h"（0）=0，得a=1…3"
当a=1时，由（1）知h（x）≥0恒成立．
所以a=1…2"
（3）因为F（x）=f（x）+mg（x）=x²-x+mlnx，所以F′(x)=

2x2-x+m

x

   (x＞0)，
F（x）有两个极值点x₁、x₂等价于
方程2x²-x+m=0在（0，+∞）上有两个不等的正根
∴

△＞0 x1+x2＞0 x1•x2＞0

得  0＜m＜

1

8

…2"
由F"（x）=0得m=-2x₂²+x₂，（0＜x1＜

1

4

＜x2＜

1

2

）
∴F（x₂）=x₂²-x₂+（x₂-2x₂²）lnx₂
设ϕ(x)=x2-x+(x-2x2)lnx ， (

1

4

＜x＜

1

2

)，
得ϕ"（x）=（1-4x）lnx＞0，∴ϕ(x)＞ϕ(

1

4

)=-

3+4ln2

16

所以F(x2)＞-

3+4ln2

16

…4"