题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知定义域为R的函数f（x）对任意的x，y∈R，f（x）≠0，且f（x+y）=f（x）f（y）
（1）求f（0）的值；
（2）若f（x）为单调函数，f（1）=2，向量

a

=(

2

cos

θ

2

，1)，

b

=(

2

λsin

θ

2

，cos2θ)，是否存在实数λ，对任意θ∈[0，2π)，f(

a

•

b

)-f(3)≤0恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．

答案

（1）令x=y=0得，f（0）=f（0）f（0），
∵f（x）≠0，∴f（0）=1．
（2）∵f（0）=1，f（1）=2，且f（x）为单调函数，
∴f（x）是增函数，
∵

a

•

b

=λsinθ+cos²θ，f（

a

•

b

）-f（3）≤0
∴f（λsinθ+cos²θ）≤f（3）
又∵f（x）是增函数，
∴对任意θ∈[0，2π），λsinθ+cos²θ≤3恒成立，
即sin²θ-λsinθ+2≥0恒成立，…（*）
令t=sinθ，得t²-λt+2≥0
∵θ∈[0，2π），∴-1≤sinθ≤1，即-1≤t≤1，
令h（t）=t²-λt+2=(t-

λ

2

)2+2-

λ2

4

（-1≤t≤1），
①当

λ

2

＜-1时，即λ＜-2时，只要h（-1）≥0，则（*）恒成立，
∵h（-1）=λ+3≥0，∴-3＜λ＜-2；
②当-1≤

λ

2

≤1时，即-2≤λ≤2时，只要h（

λ

2

）≥0，则（*）恒成立，
∵h（

λ

2

）=2-

λ2

4

≥0，∴-2

2

≤λ≤2

2

，
∴-2≤λ≤2；
③当

λ

2

＞1时，即λ＞2时，只要h（1）≥0，则（*）恒成立，
∵h（1）=3-λ≥0，∴∴2＜λ≤3；
综上：存在-3≤λ≤3，满足题目要求．