题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(Ⅰ)试讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)若函数y=|f(x)-t|-1有三个零点,试求t的值;
(Ⅲ)若存在x1,x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1,试求a的取值范围.
答案
∵f"(0)=0,且a>1.
当x>0时,lna>0,ax-1>0⇒f"(x)>0,
故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当x<0时,lna>0,ax-1<0⇒f"(x)<0.
故函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.
(Ⅱ)当a>1时,由(Ⅰ)可知:f(x)在x=0处取得最小值,又函数y=|f(x)-t|-1有三个零点,所以方程f(x)=t±1有三个根,
而t+1>t-1,所以t-1=(f(x))min=f(0)=1,由此可解得:t=2.
(Ⅲ)因为存在x1,x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1,
因此当x∈[-1,1]时,有:|(f(x))max-(f(x))min|=(f(x))max-(f(x))min≥e-1.
又由(Ⅰ)知:f(x)在[-1,0]上单调递减,在[0,1]上单调递增,
故当x∈[-1,1]时,(f(x))min=f(0)=1,(f(x))max=max{f(-1),f(1)},
而f(1)-f(-1)=(a+1-lna)-(
1 |
a |
1 |
a |
记g(t)=t-
1 |
t |
1 |
t2 |
2 |
t |
1 |
t |
因此g(t)=t-
1 |
t |
由f(1)-f(0)≥e-1⇒a-lna≥e-1⇒a≥e,综上所述,所求a的取值范围为[e,+∞).
核心考点
试题【已知函数f(x)=ax+x2-xlna(a>1).(Ⅰ)试讨论函数f(x)的单调性;(Ⅱ)若函数y=|f(x)-t|-1有三个零点,试求t的值;(Ⅲ)若存在x1】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
①若f(x)是奇函数,则f(x-1)的图象关于点A(1,0)对称;
②若函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,则f(x)为偶函数;
③若对x∈R,有f(x-1)=-f(x),则f(x)的周期为2;
④函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象关于直线x=0对称.
其中正确命题的序号是______.
A.(0,0) | B.(-a,-f(a)) | C.(a,f(-a)) | D.(-a,-f(-a)) |
(1)若a=0,求f(x)的最小值;
(2)若对任意x∈[1,+∞),都有f(x)≥-1成立,求实数a的取值范围.
1+lnx |
x |
(1)确定f(x)的单调区间;
(2)如果当x≥1时,不等式f(x)≥
k2-k |
x+1 |
1 |
x3 |
A.y轴对称 | B.直线y=-x对称 |
C.坐标原点对称 | D.直线y=x对称 |
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