题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
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(1)若g(x)与f(x)在同一点处有相同的极值,求实数a的值;
(2)对一切x∈(0,+∞),有不等式f(x)≥2x•g(x)-x2+5x-3,恒成立,求实数a的取值范围;
(3)记G(x)=
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答案
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∴f′(x)=3x2-a,g′(x)=x-
1 |
x |
令g′(x)=x-
1 |
x |
当0<x<1时,g′(x)0.
∴当x=1时,g(x)有极小值g(1)=-2.
∵g(x)与f(x)在同一点处有相同的极值,
∴f(1)=-2,且f′(1)=0,即
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解得a=3.
(2)不等式f(x)≥2x•g(x)-x2+5x-3转化为:
x3-ax≥2x(
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化简,得ax≤2xlnx+x2+3,
∵x∈(0,+∞),
∴a≤2lnx+
3 |
x |
∵对一切x∈(0,+∞),不等式f(x)≥2x•g(x)-x2+5x-3恒成立,
∴a≤(2lnx+
3 |
x |
记t(x)=2lnx+
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x |
3 |
x |
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x |
3 |
x2 |
x2+2x-3 |
x2 |
令t′(x)=0,得
x2+2x-3 |
x2 |
在(0,1)上,t′(x)<0;在(1,+∞)上,t′(x)>0.
故当x=1时,t(x)有极小值为4,
故a∈(-∞,4].
(3)证明:∵g(x)=
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∴G(x)=
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=
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=xlnx+
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∵当x≥1时,总有G(x)≤
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∴当x≥1时,总有G(x)≤
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设F(x)=xlnx+
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1 |
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则F′(x)=lnx+1-x,令F′(x)=0,得x=1.
当x>1时,F′(x)<0,F(x)是减函数,
∴F(x)=xlnx+
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故当x≥1时,总有G(x)≤
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核心考点
试题【已知函数f(x)=x3-ax , g(x)=12x2-lnx-52(1)若g(x)与f(x)在同一点处有相同的极值,求实数a的值;(2)对一切x∈(0,+∞),】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
eax | ||||
x2+
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3e2 |
49 |
(1)当a>
1 |
4 |
(2)当a=1时,若在区间[2,+∞)上存在一点x0,使得f(x0)<g(x0)成立,求b的取值范围.
A.[
| B.(-
| ||||||||||||
C.[
| D.随a的值而变化 |
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