条件概率
基本概念
条件概率
若只有两个事件A,B,那么, 。
概率测度
如果事件 B 的概率 P(B) > 0,那么 Q(A) = P(A | B) 在所有事件 A 上所定义的函数 Q 就是概率测度。 如果 P(B) = 0,P(A |B) 没有定义。 条件概率可以用决策树进行计算。
联合概率
表示两个事件共同发生的概率。A与B的联合概率表示为 P(AB) 或者P(A,B),或者P(A∩B)。
边缘概率
是某个事件发生的概率,而与其它事件无关。边缘概率是这样得到的:在联合概率中,把最终结果中不需要的那些事件合并成其事件的全概率而消失(对离散随机变量用求和得全概率,对连续随机变量用积分得全概率)。这称为边缘化(marginalization)。A的边缘概率表示为P(A),B的边缘概率表示为P(B)。
条件概率公式
需要注意的是,在这些定义中A与B之间不一定有因果或者时间顺序关系。A可能会先于B发生,也可能相反,也可能二者同时发生。A可能会导致B的发生,也可能相反,也可能二者之间根本就没有因果关系。例如考虑一些可能是新的信息的概率条件性可以通过贝叶斯定理实现。
条件概率基本定理
定理1
设A,B 是两个事件,且A不是不可能事件,则称 为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率。一般地,,且它满足以下三条件:
(1)非负性;(2)规范性;(3)可列可加性。
定理2
设E 为随机试验,Ω 为样本空间,A,B 为任意两个事件,设P(A)>0,称
为在“事件A 发生”的条件下事件B 的条件概率。
上述乘法公式可推广到任意有穷多个事件时的情况。
设A1,A2,…An为任意n 个事件(n≥2)且P(A1A2…An-1)>0,则P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1)
定理3(全概率公式1)
设B1,B2,…Bn是一组事件,若(1)BiBj≠j,i≠j,i,j=1,2,…,n;(2)B1∪B2∪…∪Bn=Ω 则称B1,B2,…Bn样本空间Ω的一个部分,或称为样本空间Ω 的一个完备事件组。
定理4(全概率公式2)
设事件组B1,B2是样本空间Ω 的一个划分,且P(Bi)>0(i=1,2,…n),则对任一事件B,有
定理5(贝叶斯公式)
设A1,A2,…An…是一完备事件组,则对任一事件B,P(B)>0,有
某种动物从出生起活到20岁的概率为0.8, 从出生起活到25岁的概率为0.4, 现有一个20岁的这种动物, 它能活到25岁的概率为( ) A. 0.4
B. 0.5
C. 0.32
D. 0.2已知P (AB )=,P(A)=,则P(B|A)= 甲、乙两地都位于长江下游,根据天气预报的纪录知,一年中下雨天甲市占20%,乙市占18%,两市同时下雨占12%。则甲市为雨天,乙市也为雨天的概率为 [ ] A.0.6
B.0.7
C.0.8
D.0.66符号P(C)代表事件C发生的机率,符号P(C|D)代表在事件D发生的条件下,事件C发生的机率,今设A,B为样本空间中的两个事件,已知P(A)=P(B)=0.6。请选出正确的选项 [ ]
(1)P(A∪B)=1
(2)P(A∩B)=0.2
(3)P(A|B)=1
(4)P(A|B)=P(B|A)
(5)A,B是独立事件据统计,大熊猫的平均寿命是12~20 岁,一只大熊猫从出生起,活到10岁的概率为0.8,活到20岁的概率为0.4。北京动物园的大熊猫“妞妞”今年已经10岁了,它能活到20岁的概率为 [ ] A.0.32
B.0.48
C.0.5
D.0.6张家的3 个鸡仔钻进了李家装有3 个鸡仔的鸡笼里,现打开笼门,让鸡仔一个一个地走出来,若第一个走出来的是张家的鸡仔,那么第二个走出的也是张家的鸡仔的概率是 [ ] A、
B、
C、
D、已知P(AB)=,P(A)=,则P(B|A)=( )。 一只盒子装有4只产品,其中3只一等品,1只二等品,从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样。设事件A为“第一次取到的是一等品”,事件B为“第二次取到的是一等品”。试求条件概率P(B|A)。 一张储蓄卡的密码共有6位数字,每位数字都可从0~9中任选一个。某人在银行自动提款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,求:如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过3次就按对的概率。 设A、B为两个事件,若事件A和事件B同时发生的概率为0.3,在事件A发生的条件下,事件B发生的概率为0.5,则事件A发生的概率为( )。 某号码锁有六个拨盘,每个拨盘上有从0到9共十个数字,当6个拨盘上的数字组成某一个六位数字号码时,锁才能打开。如果某人忘记了开锁号码的最后一位数字,只记得最后一位是奇数,则不超过3次打开锁的概率是( )。 抛掷一枚质地均匀的骰子,所得点数的样本空间为S={1,2,3,4,5,6}。令事件A={2,3,5},事件B={1,2,4,5,6},则P(A|B)的值为 [ ] A、
B、
C、
D、在大小均匀的5个鸡蛋中有3个红皮蛋,2个白皮蛋,每次取一个,有放回地取两次,则在已知第一次取到红皮蛋的条件下,第二次取到红皮蛋的概率为( ). 某工厂生产了一批产品共有20件,其中5件是次品,其余都是合格品,现不放回的从中依次抽取2件.求:
(1)第一次抽到次品的概率;
(2)第一次和第二次都抽到次品的概率;
(3)在第一次抽到次品的条件下,第二次抽到次品的概率.某人的一张银行卡的密码共有6位数字,每位数字都可以从0~9中任选一个,他在银行的自动提款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,求:
(Ⅰ)任意按最后一位数字,不超过2次就按对的概率.
(Ⅱ)如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过2次就按对的概率.在6道题中有4道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2道题,则在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率是( ) 电视机的使用寿命显像管开关的次数有关.某品牌电视机的显像管开关了10000次还能继续使用的概率是0.96,开关了15000次后还能继续使用的概率是0.80,则已经开关了10000次的电视机显像管还能继续使用到15000次的概率是______. 袋中有5个小球(3白2黑),现从袋中每次取一个球,不放回地抽取两次,则在第一次取到白球的条件下,第二次取到白球的概率是( ) A. B. C. D. 从1,2,3,4,5中不放回地依次取2个数,事件A=“第一次取到的是奇数”,B=“第二次取到的是奇数”,则P(B|A)=( ) A. B. C. D. 甲射击运动员击中目标为事件A,乙射击运动员击中目标为事件B,则事件A,B为( ) A.互斥事件 B.独立事件 C.对立事件 D.不相互独立事件 大熊猫活到十岁的概率是0.8,活到十五岁的概率是0.6,若现有一只大熊猫已经十岁了,则他活到十五岁的概率是( ) A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.48 设A、B为两个事件,若事件A和B同时发生的概率为
,在事件A发生的条件下,事件B发生的概率为3 10
,则事件A发生的概率为______.1 2 袋子里有大小相同的3个红球和4个黑球,今从袋子里随机取球.
(Ⅰ)若有放回地取3次,每次取1个球,求取出1个红球2个黑球的概率;
(Ⅱ)若无放回地取3次,每次取1个球,
①求在前2次都取出红球的条件下,第3次取出黑球的概率;
②求取出的红球数X 的分布列和数学期望.已知,,那么P(B|A)等于( ) A. B. C. D. 将两枚质地均匀透明且各面分别标有1,2,3,4的正四面体玩具各掷一次,设事件A={两个玩具底面点数不相同},B={两个玩具底面点数至少出现一个2点},则P(B|A)=______. 设某种动物由出生算起活到10岁的概率为0.9,活到15岁的概率为0.6.现有一个10岁的这种动物,它能活到15岁的概率是______. 某班从6名班干部(其中男生4人,女生2人)中选3人参加学校学生会的干部竞选.
(1)设所选3人中女生人数为ξ,求ξ的分布列及数学期望;
(2)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率.设随机事件A、B,P(A)=
,P(B|A)=3 5
,则P(AB)=______.1 2 把一枚硬币连续抛掷两次,事件A=“第一次出现正面”,事件B=“第二次出现正面”,则P(B|A)等于( ) A. B. C. D. 10件产品中有7件正品,3件次品,则在第一次抽到次品条件下,第二次抽到次品的概率______. 已知P(B|A)=,P(A)=,则P(AB)等于( )