题目
题型:解答题难度:困难来源:四川省月考题
(1)判断函数 是否在集合A中?并说明理由;
(2)设函数f(x)=ax2+bx,且f(x)∈A,试求2a+b的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若f(2)=6,且对于满足(2)的每个实数a,存在最小的实数m,使得当x∈[m,2]时,|f(x)|≤6恒成立,试求用a表示m的表达式.
答案
因为|u|<,|υ|<,且|u+υ|≤|u|+|υ|
所以<1
所以|f1(u)﹣f1(2)|<|u﹣υ|<3|u﹣υ|,亦即f1(x)∈A
(2)因为f(x)=ax2+bx属于集合A,所以,任取u、υ∈(﹣1,1)且u≠υ,
则3|u﹣υ|≥|f(u)﹣f(υ)|=|(u﹣υ)(au+aυ+b)|,也即|au+aυ+b|≤3 ①
设t=u+υ,则上式化为|at+b|≤3②
因为u,υ∈(﹣1,1),所以﹣2<t<2
①式对任意的u,υ∈(﹣1,1)恒成立,即②式对t∈(﹣2,2)恒成立可以证明|2a|+|b|≤3,所以|2a+b|≤3,
即2a+b∈[﹣3,3]
(3)由f(2)=6可知2a+b=3
又由(2)可知﹣3≤2a+b≤3,所以 ,
当a=0时,b=3,f(x)=3x在[m,2]上为单调递增函数,f(m)=3m,f(2)=4
令3m=﹣6,可得m=﹣2
当a>0时,.
此时,,
且当x∈R时f(x)的最小值为
若,即时,m为方程f(x)=6的较小根,
所以
若<﹣6,即0<a<时,
由于f(x)在上单调递增,
所以m为方程f(x)=﹣6的较大根,所以,
综上可知,m=
核心考点
试题【集合A是由适合以下性质的函数f(x)构成的:对于任意的,且u、υ∈(﹣1,1),都有|f(u)﹣f(υ)|≤3|u﹣υ|.(1)判断函数 是否在集合A中?并说明】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若f"(1)=0,求m的值,并求f(x)的单调区间;
(2)若对于任意实数x,f(x)≥0恒成立,求m的取值范围.
(1)若函数f(x)的最小值是f(﹣1)=0,且c=1,F(x)=求
F(2)+F(﹣2)的值;
(2)若a=1,c=0,且|f(x)|≤1在区间(0,1]恒成立,试求b的取值范围.
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