题目

题型：解答题难度：一般来源：湖南省月考题

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R）．
（1）若函数f（x）的最小值是f（﹣1）=0，且c=1，F（x）=求
F（2）+F（﹣2）的值；
（2）若a=1，c=0，且|f（x）|≤1在区间（0，1]恒成立，试求b的取值范围．

答案

解：（1）由已知c=1，f（﹣1）=a﹣b+c=0，且﹣=﹣1，
解得a=1，b=2．
∴f（x）=（x+1）²．
又F（x）=，
∴F（2）+F（﹣2）=（2+1）²+[﹣（﹣2+1）²]=8．
（2）由题知f（x）=x²+bx，原命题等价于﹣1≤x²+bx≤1在x∈（0，1]恒成立，
即b≤﹣x且b≥﹣﹣x在x∈（0，1]恒成立，
根据单调性可得﹣x的最小值为0，﹣﹣x的最大值为﹣2，
所以﹣2≤b≤0．