题目

题型：单选题难度：简单来源：不详

定义在R上的函数y=f（x）是减函数，且对任意的a∈R，都有f（-a）+f（a）=0，若x，y满足不等式f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0，则当1≤x≤4时，2x-y的最大值为（　　）

A．1

B．10

C．5

D．8

答案

由于任意的a∈R都有f（-a）+f（a）=0，可知函数y=f（x）为奇函数
由f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0可得f（x²-2x）≤-f（2y-y²）
由函数为奇函数可得式f（x²-2x）≤f（-2y+y²）
∵函数y=f（x）为R上的减函数
∴x²-2x≥-2y+y²
即x²-y²-2（x-y）≥0
整理可得，（x+y-2）（x-y）≥0
作出不等式组

(x+y-2)(x-y)≥0 1≤x≤4

所表示的平面区域即可行域如图所示的△ABC
令Z=2x-y，则Z表示2x-y-z=0在y轴上的截距的相反数，
由图可知，当直线经过点A（1，1）时Z最小，最小值为Z=2×1-1=1，当直线经过点C（4，-2）Z最大，最大值2×4-（-2）=10
故选B