题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数y=f（x）的定义域为R，且f（-x）=-f（x），当x∈（0，1）时，f(x)=

2x

4x+1

．
（1）求f（x）在（-1，0）上的解析式；（2）求证：f（x）在（0，1）上是减函数．

答案

（1）∵f（-x）=-f（x），x∈（0，1）时，f(x)=

2x

4x+1

，
∴当x∈（-1，0）时，f(x)=-f(-x)=-

2x

4x+1

；
（2）证明：设0＜x₁＜x₂＜1，则

f(x1)-f(x2)= 2x1 4x1+1 - 2x2 4x2+1 = 2x1(4x2+1)-2x2(4x1+1) (4x1+1)(4x2+1)

=

2x1+x2(2x2-2x1)+(2x1-2x2)

(4x1+1)(4x2+1)

═

(2x1-2x2)(1-2x1+x2)

(4x1+1)(4x2+1)

∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴2x1-2x2＜0，1-2x1+x2＜0，4x1+1＞0，4x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，1）是减函数．