题目

题型：解答题难度：一般来源：广州一模

已知α，β是方程4x²-4tx-1=0（t∈R）的两个不等实根，函数f(x)=

2x-t

x2+1

的定义域为[α，β]．
（Ⅰ）求g（t）=maxf（x）-minf（x）；
（Ⅱ）证明：对于ui∈(0，

π

2

)(i=1，2，3)，若sinu₁+sinu₂+sinu₃=1，则

1

g(tanu1)

+

1

g(tanu2)

+

1

g(tanu3)

＜

3

4

6

．

答案

（Ⅰ）设α≤x₁＜x₂≤β，则4x₁²-4tx₁-1≤0，4x₂²-4tx₂-1≤0，∴4(

x

21

+

x

22

)-4t(x1+x2)-2≤0，  ∴2x1x2-t(x1+x2)-

1

2

＜0
则f(x2)-f(x1)=

2x2-t

x 22 +1

-

2x1-t

x 21 +1

=

(x2-x1)[t(x1+x2)-2x1x2+2]

( x 22 +1)( x 21 +1)

又t(x1+x2)-2x1x2+2＞t(x1+x2)-2x1x2+

1

2

＞0  ∴f(x2)-f(x1)＞0
故f（x）在区间[α，β]上是增函数．（3分）
∵α+β=t， αβ=-

1

4

，∴g(t)=maxf(x)-minf(x)=f(β)-f(α)=

(β-α)[t(α+β)-2αβ+2]

α2β2+α2+β2+1

=

t2+1 (t2+ 5 2 )

t2+ 25 16

=

8 t2+1 (2t2+5)

16t2+25

（6分）
（Ⅱ）证：g(tanui)=

8 cosui ( 2 cos2ui +3)

16 cos2ui +9

=

16 cosui +24cosui

16+9cos2ui

≥

2 16×24

16+9cos2ui

=

16 6

16+9cos2ui

   (i=1，2，3)（9分）∴

3

i=1

1

g(tanui)

≤

1

16 6

3

i=1

(16+9cos2ui)=

1

16 6

(16×3+9×3-9)

3

i=1

sin2ui)（15分）∵

3

i=1

sinui=1，且ui∈(0，

π

2

)，  i=1，2，3      ∴3

3

i=1

sin2ui≥(

3

i=1

sinui)2=1，而均值不等式与柯西不等式中，等号不能同时成立，∴

1

g(tanu1)

+

1

g(tanu2)

+

1

g(tanu3)

＜

3

4

6

．（14分）