题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=|x²-4x+3|．
（1）求函数f（x）的单调区间，并指出其增减性；
（2）若关于x的方程f（x）-a=x至少有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围．

答案

（1）f（x）=|x²-4x+3|=

x2-4x+3     (x≤1) -x2+4x-3    (1＜x＜3) x2-4x+3      (x≥3)

∴当x≤1时，函数为减函数；当1≤x≤2时，函数为增函数；
当2≤x≤3时，函数为减函数；当x≥3时，函数为增函数
由此可得：函数的单调递增区间为[1，2]和[3，+∞），
递减区间为（-∞，1]和[2，3]
（2）关于x的方程f（x）-a=x即f（x）=x+a，
由y=x+a和y=-x²+4x-3，消去y，得x²-3x+3+a=0，
由△=9-4（3+a）=0，得a=-

3

4

，
∴当a=-

3

4

时，直线y=x+a与曲线y=-x²+4x-3相切于点A（

3

2

，

3

4

），
又∵直线y=x+a经过点B（1，0）时，两图象也有三个公共点，此时a=-1
∴当直线y=x+a位于点A、B之间（含边界）时，两图象至少有三个不同的交点
由此，结合函数图象可得a∈[-1，-

3

4

]．