题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=x+

a

x2

，其中a∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）为奇函数，求实数a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．

答案

（Ⅰ）因为f(x)=x+

a

x2

是奇函数． 所以f（-x）=-f（x），其中x∈R且x≠0．…（2分）
即-x+

a

x2

=-x-

a

x2

，其中x∈R且x≠0．
所以a=0．…（6分）
（Ⅱ）f′(x)=1-

2a

x3

．…（8分）
因为f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，
所以 f′(x)=1-

2a

x3

≥0在[2，+∞）上恒成立，…（9分）
即a≤

1

2

x3在[2，+∞）上恒成立，
因为y=

1

2

x3在[2，+∞）上的最小值y_min=4，
所以 a≤4，验证知当a≤4时，f（x）在区间[2，+∞）上单调递增．…（13分）