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圆内接四边形
圆内接四边形性质定理
以下图所示圆内接四边形ABCD为例，圆心为O，延长AB至E，AC、BD交于P，则：
▶圆内接四边形的对角互补：∠BAD+∠DCB=180°，∠ABC+∠ADC=180°
▶圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角：∠CBE=∠ADC
▶圆心角的度数等于所对弧的圆周角的度数的两倍：∠A0B=2∠ACB=2∠ADB
▶同弧所对的圆周角相等：∠ABD=∠ACD
▶圆内接四边形对应三角形相似：△ABP∽△DCP(三个内角对应相等)
▶相交弦定理：AP×CP=BP×DP
▶托勒密定理：AB×CD+AD×CB=AC×BD
圆内接四边形的判定定理
1、如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形内接于一个圆;
2、如果一个四边形的外角等于它的内对角，那么这个四边形内接于一个圆;
3、如果一个四边形的四个顶点与某定点等距离，那么这个四边形内接于以该点为圆心的一个圆;
4、若有两个同底的三角形，另一顶点都在底的同旁，且顶角相等，那么这两个三角形有公共的外接圆;
5、如果一个四边形的张角相等，那么这个四边形内接于一个圆;
6、相交弦定理的逆定理;7、托勒密定理的逆定理。
相关试题
过圆x2+y2=4外一点P（4，2）作圆的两条切线，切点分别为A，B，则△ABP的外接圆方程是
A、(x-4)2+(y-2)2=1
B、x2+(y-2)2=4
C、(x+2)2+(y+1)2=5
D、(x-2)2+(y-1)2=5△ABC中，AB＜AC，AD、AE分别是BC边上的高和中线，且∠BAD=∠EAC，证明∠BAC是直角。 如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED。 
（1）证明：CD//AB；
（2）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F 四点共圆。已知△ABC 中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧 
上的点（不与点A，C重合），延长BD至E。 
（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；
（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为2+
，求△ABC外接圆的面积如图，在△ABC中，∠C为钝角，点E，H是边AB上的点，点K和M分别是边AC和BC上的点，且AH=AC，EB=BC，AE=AK，BH=BM，
（Ⅰ）求证：E，H，M，K四点共圆；
（Ⅱ）若KE=EH，CE=3，求线段KM的长。
如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC，
（Ⅰ）求证：FB=FC；
（Ⅱ）求证：FB2=FA·FD；
（Ⅲ）若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=6cm，求AD的长。
如图，已知△ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B=60°，F在AC上，且AE=AF，
（1）证明：B，D，H，E四点共圆；
（2）证明：CE平分∠DEF。
如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点，
（Ⅰ）证明A，P，O，M四点共圆；
（Ⅱ）求∠OAM+∠APM的大小。
（选做题）已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB，FC，
（1）求证：FB=FC；
（2）若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=3
，求AD的长。 
（选做题）如图，已知△ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B=60°，F在AC上， 且AE=AF。
（1）证明：B，D，H，E四点共圆；
（2）证明：CE平分∠DEF。
选做题
如图，已知△ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B=60°，F在AC上，且AE=AF．
（1）证明：B，D，H，E四点共圆；
（2）证明：CE平分∠DEF．
选做题
如图，已知△ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B=60°，F在AC上，且AE=AF．
（1）证明：B，D，H，E四点共圆；
（2）证明：CE平分∠DEF．
选做题
如图，已知圆上的弧AC=弧BD，过C的圆的切线与
的A长线交于
点。
（1）证明：
；
（2）若
，求
的长如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P．若PB=1，PD=3，则
的值为______．BC AD 
如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B，C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．
（Ⅰ）证明A，P，O，M四点共圆；
（Ⅱ）求∠OAM+∠APM的大小．
如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于O点，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求证：E，F，G，H四个点在以O为圆心的同一个圆上． 
选做题：如图，点A、B、C是圆O上的点，且AB=4，∠ACB=30°，则圆O的面积等于______． 
求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上． 如图所示，圆的内接△ABC的∠C的平分线CD延长后交圆于点E，连接BE，已知BD=3，CE=7，BC=5，则线段BE=（ ）
，则CD=（ ）。
，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF=（ ）。
AB，求证：BN=2AM。 
，过A点的切线交CB的延长线于E点，求证：AB2=BE·CD。 
，Q为圆上一点，AQ和BC的延长线交于点P，且AQ：QP=1：2，则AP=（ ）。
的值为（ ）.
为直角三角形，
，以
为直径的圆交
于点
，点
是
边的中点，连
交圆
于点
.
四点共圆；
.
