题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知

a

=(x，1)，

b

=(x-2，-2)，且f(x)=

a

•

b

（1）当函数f（x）取得最小值时，求向量

a

，

b

夹角的余弦值；
（2）若函数f（x）在区间（m，m+1）上是单调函数，求实数m的取值范围．

答案

（1）由题意可得f(x)=

a

•

b

=x（x-2）+1×（-2）=（x-1）²-3，故当x=1时，函数取得最小值为-3，
此时，设向量

a

，

b

夹角为θ，则cosθ=

a • b

| a |•| b |

=

-3

2 • 1+4

=

-3 10

10

．
（2）由于二次函数f（x）=（x-1）²-3的对称轴为x=1，若函数f（x）在区间（m，m+1）上是单调函数，则得 m≥1，或 m+1≤1，
解得 m≥1，或 m≤0，故实数m的取值范围是[1，+∞）∪（-∞，1]．