题目

题型：解答题难度：一般来源：重庆一模

设函数f(x)=-x2+2ax+m，g(x)=

a

x

．
（I）若函数f（x），g（x）在[1，2]上都是减函数，求实数a的取值范围；
（II）当a=1时，设函数h（x）=f（x）g（x），若h（x）在（0，+∞）内的最大值为-4，求实数m的值．

答案

（I）f（x），g（x）在[1，2]上都是减函数．

a≤1 a＞0

⇒0＜a≤1．…（4分）
（II）当a=1时，h(x)=f(x)g(x)=

-x2+2x+m

x

=-x+

m

x

+2，…（6分）
当m≥0时，显然h（x）在（0，+∞）上单调递减，∴h（x）无最大值；…（8分）
当m＜0时，h(x)=-x+

m

x

+2=-(x+

(-m)

x

)+2≤-2

-m

+2，…（10分）
当且仅当x=

-m

时，等号成立，
∴h(x)max=-2

-m

+2-2

-m

+2=-4⇒m=-9…（13分）