题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

定义在（0，+∞）上的函数f （x），对于任意的m，n∈（0，+∞），都有f（m•n）=f（m）+f（n）成立，当x＞1时，f（x）＜0．（Ⅰ）计算f（1）；（Ⅱ）证明f （x）在（0，+∞）上是减函数；（Ⅲ）当f(2)=-

1

2

时，解不等式f（x²-3x）＞-1．

答案

（Ⅰ）∵定义在（0，+∞）上的函数f （x）对于任意的m，n∈（0，+∞），满足f（m•n）=f（m）+f（n），
∴f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1）．∴f（1）=0
证明：（II）设0＜x₁＜x₂，∵f（m•n）=f（m）+f（n）即f（m•n）-f（m）=f（n）
∴f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

x1)-f(x1)=f(

x2

x1

)+f(x1)-f(x1)=f(

x2

x1

)．
因为0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，而当x＞1时，f（x）＜0，从而f（x₂）＜f（x₁）
于是f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（Ⅲ）因为f（4）=f（2）+f（2）=-1，所以f（x²-3x）＞f（4），
因为f（x）在（0，+∞）上是减函数，所以0＜x²-3x＜4，
解得-1＜x＜0或3＜x＜4，
故所求不等式的解集为{x|-1＜x＜0或3＜x＜4}．