题目

题型：解答题难度：简单来源：不详

已知函数，其中为常数，设为自然对数的底数．
（1）当时，求的最大值；
（2）若在区间上的最大值为，求的值．

答案

(1)      (2)

解析

试题分析：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），当a=-1时，f（x）=lnx-x，f′（x）=-1=令f′（x）＞0得，0＜x＜1，令f′（x）＜0得，x＞1或x＜0，∴函数f（x）增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）；
（2）f′（x）=
①当a>0时，x＞0，∴f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0．e]上是增函数，
∴f（x）_max=f（e）=2，∴a+1=2,∴a=e符号题意；
②当a<0时，令f′（x）=0得x=-，
1°若0＜-≤e，即-≤a＜0时
∴f（x）_max=f（-a）=2
∴-1+ln（-a）=2，
∴a=-e²不符号题意，舍去；
2°若-a＞e，即a＜-e时，在（0，e]上f′（x）＞0．∴f（x）在（0．e]上是增函数，故f（x）_max=f（）=2∴a=不符号题意，舍去；故a=
点评：考查利用导数的方法研究函数的单调性、极值、最值和分类讨论的思想方法，注意函数的定义域；属难题