题目

题型：上海难度：来源：

在平面上，给定非零向量

b

，对任意向量

a

，定义

a′

=

a

-

2( a • b )

| b |2

b

．
（1）若

a

=（2，3），

b

=（-1，3），求

a′

；
（2）若

b

=（2，1），证明：若位置向量

a

的终点在直线Ax+By+C=0上，则位置向量

a′

的终点也在一条直线上；
（3）已知存在单位向量

b

，当位置向量

a

的终点在抛物线C：x²=y上时，位置向量

a′

终点总在抛物线C′：y²=x上，曲线C和C′关于直线l对称，问直线l与向量

b

满足什么关系？

答案

（1）∵

a

=（2，3），

b

=（-1，3），
∴

a

•

b

=7，

|b|

2=10，可得

2( a • b )

| b |2

b

=

2×7

10

（-1，3）=（-

7

5

，

21

5

）
因此

a′

=

a

-

2( a • b )

| b |2

b

=（2，3）-（-

7

5

，

21

5

）=（

17

5

，-

6

5

）；
（2）设

a

=（x"，y"），终点在直线Ax+By+C=0上
算出

a

•

b

=2x"+y"，

|b|

2=5，

2( a • b )

| b |2

b

=

2(2x′+y′)

5

（2，1）=（

8x′+4y′

5

，

4x′+2y′

5

），
∴

a′

=

a

-

2( a • b )

| b |2

b

=（x"，y"）-（

8x′+4y′

5

，

4x′+2y′

5

）=（

-3x′-4y′

5

，

-4x′+3y′

5

）
因此，若

a′

=（x，y），满足

x= -3x′-4y′ 5 y= -4x′+3y′ 5

，得到

x′= -3x-4y 5 y′= -4x+3y 5

∵点（

-3x-4y

5

，

-4x+3y

5

）在直线Ax+By+C=0上
∴A×

-3x-4y

5

+B×

-4x+3y

5

+C=0，化简得（3A+4B）x+（4A-3B）y-5C=0，
由A、B不全为零，可得以上方程是一条直线的方程
即向量

a′

的终点也在一条直线上；
（3）∵

b

是单位向量，
∴设

a

=（x，y），

b

=（cosθ，sinθ），可得

a

•

b

=xcosθ+ysinθ，
所以

a′

=

a

-

2( a • b )

| b |2

b

=

a

-2（xcosθ+ysinθ）

b

=（-xcos2θ-ysin2θ，-2xsin2θ+ycos2θ）
∵

a

的终点在抛物线x²=y上，且

a′

终点在抛物线y²=x上，
∴-xcos2θ-ysin2θ=（-2xsin2θ+ycos2θ）²，
化简整理，通过比较系数可得cosθ=

2

2

，sinθ=-

2

2

或cosθ=-

2

2

，sinθ=

2

2

∴

b

=±（

2

2

，

2

2

），
∵曲线C和C′关于直线l：y=x对称，
∴l的方向向量

d

=（1，1）．
可得

d

•

b

=0，即

d

⊥

b

，因此直线l与向量

b

垂直．