题目

题型：解答题难度：一般来源：丰南区

已知函数f（x）=sinx+cosx，f"（x）是f（x）的导函数
（1）当x∈[0，

π

2

]时求函数g(x)=f(x)f′(x)+f2(x)的值域．
（2）在直角坐标系中画出y=g(x)-1在[-

π

2

，

π

2

]上的图象．

答案

（1）∵函数f（x）=sinx+cosx，∴f"（x）=cosx-sinx，∴f（x）f^′（x）=（sinx+cosx）（cosx-sinx）=cos²x-sin²x=cos2x，f²（x）=1+sin2x，
∴g（x）=cos2x+sin2x+1，
∴g(x)=

2

sin(2x+

π

4

)+1，
∵x∈[0，

π

2

]，∴(2x+

π

4

)∈[

π

4

，

5π

4

]，∴-

2

2

≤sin(2x+

π

4

)≤1，
∴y∈[0，

2

+1]．


（2）y=g（x）-1=

2

sin(2x+

π

4

)，x∈[-

π

2

，

π

2

]．
列表如右：
画出图象：