题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知f(x)=

1 x -1

．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断并用定义证明函数f（x）的单调性；
（3）求函数f（x）的反函数f^-1（x）；
（4）若对任意满足x₁+x₂=m的正实数x₁、x₂，不等式f^-1（x₁）f^-1（x₂）＞f^-1（m）恒成立．求m的取值范围．

答案

（1）由

1

x

-1≥0得定义域为（0，1]．
（2）f（x）在（0，1）内单调递减，证明如下．
设0＜x₁＜x₂≤1，则f(x2)-f(x1)=

1 x2 -1

-

1 x1 -1

=

x1-x2 x2x1

1 x2 -1 + 1 x1 -1

＜0．
即f（x₂）＜f（x₁）．这就是说函数f（x）在（0，1]上单调递减．
（3）令y=

1 x -1

，解得x=

1

1+y2

（y≥0），即f-1(x)=

1

1+x2

（x≥0）．
（4）由f^-1（x₁）f^-1（x₂）＞f^-1（m），
化简得到：（1+x₁²）（1+x₂²）＜1+m²．
注意到m=x₁+x₂，以及x₁，x₂＞0代入整理得：x₁x₂＜2．
把x₂=m-x₁代入整理得到：x₁²-mx₁+2＞0．
该关于x₁的不等式对于一切（0，m）内的x₁恒成立．
所以(

m

2

)2-m•

m

2

+2＞0．解得0＜m＜2

2

．