附加题：连续函数f（x）满足：对于任何x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）⋅f（y）成立，且f（x）不是常数函数．（Ⅰ）求证：对于任意x∈R，都有f（x）＞0 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

附加题：
连续函数f（x）满足：对于任何x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）⋅f（y）成立，且f（x）不是常数函数．
（Ⅰ）求证：对于任意x∈R，都有f（x）＞0；
（Ⅱ）求证：对于任意x∈Q，都有f（x）=[f（1）]^x；
（Ⅲ）设f（1）=a，求证：对于任意x∈R，都有f（x）=a^x．

答案

证明：（I）假设设f（x）＜0，
∵x、y∈R，则f（x+y）＜0
f（x）．f（y）＞0，
与f（x+y）=f（x）．f（y）矛盾，
∴f（x）＞0
（II）对任意x，f（0）=f[x+（-x）]=f（x）f（-x）=1，即f（-x）=

f(x)

=[f（x）]^-1 可以推出：f（m）=f（1+1+…+1）=[f（1）]^m，m为正整数．
f（1）=f（

+…+

）=[f（

）]ⁿ，f（

）=[f(1)]

，n为正整数．
设x=

，m、n为整数．
f（x）=f（

）=[f(1)]

=[f（x）]^x
（III）设x为任意实数，则存在一系列有理数（可能是无穷多个）x₁、x₂、x₃、…
使得x=x₁+x₂+x₃+…
∵f（x+y）=f（x）⋅f（y）
所以，f（x）=f（x₁+x₂+x₃+…）=a^x_1•a^^x_2•a^x₃•…=a^{（x₁+x₂+x₃+…）}=a^x

核心考点

试题【附加题：连续函数f（x）满足：对于任何x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）⋅f（y）成立，且f（x）不是常数函数．（Ⅰ）求证：对于任意x∈R，都有f（x）＞0】；主要考察你对函数定义域等知识点的理解。[详细]

举一反三

函数f（x）的定义域为D，若满足①f（x）在D内是单调函数，②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[-b，-a]，那么y=f（x）叫做对称函数，现有f（x）=

2-x

-k是对称函数，那么k的取值范围是______．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]内是单调的；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]时，则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．
（1）判断函数y=3-

是否存在“和谐区间”，并说明理由；
（2）如果[m，n]是函数y=

(a2+a)x-1

a2x

(a≠0)的一个“和谐区间”，求n-m的最大值；
（3）有些函数有无数个“和谐区间”，如y=x，请你再举一类（无需证明）

题型：解答题难度：一般| 查看答案

函数f_M（x）的定义域为R，且定义如下：f_M（x）=

1，(x∈M)

0，(x∉M)

（其中M为非空数集且M⊈R），在实数集R上有两个非空真子集A、B满足A∩B≡∅，则函数F（x）=

fA∪B(x)+1

fA(x)+ fB(x)+1

的值域为（　　）

A．{0}

B．{1}

C．{0，1}

D．∅

题型：单选题难度：简单| 查看答案

已知两个函数f（x）和g（x）的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其定义如下表：则方程g（f（x））=x的解集为（　　）

题型：单选题难度：一般| 查看答案

题型：填空题难度：一般| 查看答案

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热门考点

x	1	2	3
f（x）	2	3	1
已知f（x）的定义域是[0，1]，且f（x+m）+f（x-m）的定义域是∅，则正数m的取值范围是______．