题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

（1）已知函数f（x）=-x²+4（x∈（-1，2）），P、Q是f（x）图象上的任意两点．
①试求直线PQ的斜率k_PQ的取值范围；
②求f（x）图象上任一点切线的斜率k的范围；
（2）由（1）你能得出什么结论？（只须写出结论，不必证明），试运用这个结论解答下面的问题：已知集合M_D是满足下列性质函数f（x）的全体：若函数f（x）的定义域为D，对任意的x₁，x₂∈D，（x₁≠x₂）有|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|．
①当D=（0，1）时，f（x）=lnx是否属于M_D，若属于M_D，给予证明，否则说明理由；
②当D=(0，

3

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)，函数f（x）=x³+ax+b时，若f（x）∈M_D，求实数a的取值范围．

答案

（1）=1 ①设P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，f（x₂））是f（x）图象上的任意两点（x₁≠x₂），则kPQ=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=

(-x22+4)-(-x12+4)

x2-x1

=-(x2+x1)，
由x₁，x₂∈（-1，2），知-（x₁+x₂）∈（-4，2），
∴直线PQ的斜率k_PQ的取值范围是（-4，2）；
②由f′（x）=-2x，x∈（-1，2），得f′（x）∈（-4，2），
∴f（x）图象上任一点切线的斜率k的范围是（-4，2）；
（2）由（1）得：函数y=f（x）图象上任意两点P、Q连线的斜率k=

y1-y2

x1-x2

(x1≠x2)的取值范围，
就是曲线上任一点切线的斜率（如果有的话）的范围（其实由导数的定义可得）．
①∵f′(x)=

1

x

，∴若x∈（0，1），f′（x）＞1⇒|f′（x）|＞1，
∴|

f(x1)-f(x2)

x1-x2

|＞1，当x₁，x₂∈（0，1）时，f（x）=lnx∉M_D．
②由f（x）=x³+ax+b⇒f′（x）=3x²+a，当x∈(0，

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)时，
a＜f′（x）＜1+a．∵f（x）∈M_D，
∴|f(x1)-f(x2)|＜|x1-x2|，即|

f(x1)-f(x2)

x1-x2

|＜1，
∴

a≥-1 1+a≤1

，得-1≤a≤0．
∴实数a的取值范围是[-1，0]．