题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC，垂足为F。（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若过A点且与BC平行的直线交BE的延长线于G点，连接CG，当△ABC是等边三角形时，求∠AGC的度数。

答案

解：（1）连接AD，OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵△ABC是等腰三角形，
∴BD=DC，
∵AO=BO，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴BG⊥AC，
∵△ABC是等边三角形，
∴BG是AC的垂直平分线，
∴GA=GC，
又∵AG∥BC，∠ACB=60°，
∴∠CAG=∠ACB=60°，
∴△ACG是等边三角形，
∴∠AGC=60°。