题目

题型：四川省中考真题难度：来源：

如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P。
（1）求证：BF=EF；
（2）求证：PA是⊙O的切线；
（3）若FG=BF，且⊙O的半径长为3，求BD和FG的长度。

答案

解：（1）∵BC是⊙O的直径，BE是⊙O的切线，
∴
又∵，
易证，
，

∵G是AD的中点，

；
（2）连结AO，AB，
∵BC是⊙O的直径，

在中，由（1），知F是斜边BE的中点，


又，
∵BE是⊙O的切线，
，

∴PA是⊙O的切线；
（3）过点F作于点H，


由（1），知，
由已知，有，
，即是等腰三角形，
，

，即，

∴四边形BDHF是矩形，BD=HF，
，易证，
即
∵⊙O的半径长为，


解得，




在中，
，
由勾股定理，得

解得（负值舍去）

［或取CG的中点H，连结DH，则，易证，，故，由，易知，，由，解得，
又在中，由勾股定理，得，（舍去负值）]