题目

题型：上海中考真题难度：来源：

已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足（如图（1）所示）。
（1）当AD=2，且点Q与点B重合时（如图（2）所示），求线段PC的长；
（2）在图（1）中，连接AP，当，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，，其中S_△APQ表示△APQ的面积，S_△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）当AD<AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图（3）所示），求∠QPC的大小。

答案

解：（1）∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠A=∠ABC=90°，
当AD=2时，AD=AB，
∴∠D=∠ABD=45°，
∴∠PQC=∠D=45°，
∴，
∴PQ=PC，
∴∠C=∠PQC=45°，
∴∠BPC=90°，
∴PC=BC·sin45°=；
（2）如图，作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，
∵∠ABC=90°，
∴四边形EBFP是矩形，
∴PF=BE，
又∵∠BAD=90°，
∴PE∥AD，
∴Rt△BEP∽Rt△BAD，
∴，
∴，
设BE=4k，则PE=3k，
∴PF=BE=4k，
∵BQ=x，AQ=AB-BQ=2-x，
∴，
∵，
∴，；
（3）如图，作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F
∵∠ABC=90°
∴四边形EBFP是矩形，
∴PF=BE，∠EPF=90°，
又∠A=90°，
∴PE∥AD，
∴Rt△BEP∽Rt△BAD，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴Rt△PCF∽Rt△PQE，
∴∠FPC=∠EPQ，
∵∠EPQ+∠QPF=∠EPF=90°，
∴∠FPC+∠QPF=90°，
即∠QPC=90°。