题目

题型：湖北省中考真题难度：来源：

如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6，△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE，AC和BE相交于点O。
（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；
（2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AB于点Q，QR⊥BD，垂足为点R。
①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积；
②当线段BP的长为何值时，△PQR与△BOC相似？

答案

解：（1）四边形ABCE是菱形，证明如下：
∵△ECD是由△ABC沿BC平移得到的，
∴EC∥AB，且EC=AB，
∴四边形ABCE是平行四边形，
又∵AB=BC，
∴四边形ABCE是菱形，
（2）①四边形PQED的面积不发生变化，理由如下：
∵ABCE是菱形，
∴AC⊥BE，OC=AC=3，
∵BC=5，
∴BO=4，
过A作AH⊥BD于H，（如图1）
∵S_△ABC=BC×AH=AC×BO，即：×5×AH=×6×4，
∴AH=，
由菱形的对称性知，△PBO≌△QEO，
∴BP=QE，
∴S_{四边形PQED}=（QE+PD）×QR
=（BP+PD）×AH=BD×AH =×10×=24；
②如图2，当点P在BC上运动，使△PQR与△COB相似时，
∵∠2是△OBP的外角，
∴∠2＞∠3，
∴∠2不与∠3对应，
∴∠2与∠1对应，即∠2=∠1，
∴OP=OC=3，
过O作OG⊥BC于G，则G为PC的中点，△OGC∽△BOC，
∴CG∶CO=CO∶BC，即：CG∶3=3∶5，
∴CG=，
∴PB=BC-PC=BC-2CG=5-2×=。