题目

题型：不详难度：来源：

【改编】（本小题满分10分）
数形结合作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，即“以数解形”；或者借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系，即“以形助数”。                                                           如浙教版九上课本第109页作业题第2题：如图1，已知在△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB，D为垂足。易证得两个结论：(1)AC·BC = AB·CD   (2)AC2= AD·AB
（1）请你用数形结合的“以数解形”思想来解：如图2，已知在△ABC中（AC>BC），∠ACB=900，CD⊥AB，D为垂足， CM平分∠ACB,且BC、AC是方程x2-14x+48=0的两个根，求AD、MD的长。
（2）请你用数形结合的“以形助数”思想来解：设a、b、c、d都是正数，满足a：b=c：d,且a最大。求证：a+d>b+c（提示：不访设AB=a,CD=d,AC=b,BC=c，构造图1）

答案

解：（1）显然，方程x2-14x+48=0的两根为6和8，     1分
又AC>BC
∴AC=8，BC=6
由勾股定理AB=10
△ACD∽△ABC，得AC2= AD·AB
∴AD="6.4     " -------------------------------2分
∵CM平分∠ACB
∴AM：MB=AC：CB
解得，AM=---------------------------------     1分
∴MD=AD-AM=-----------------------------1分
（2）解：不访设AB=a,CD=d,AC=b,BC=c
由三角形面积公式，得AB·CD=AC·BC
2AB·CD=2AC·BC          -------------------------1分
又勾股定理，得AB2=AC2+BC2
∴AB2+2AB·CD =AC2+BC2+2AC·BC(等式性质)
∴AB2+2AB·CD =（AC+BC）2----------------------1分
∴AB2+2AB·CD+CD2 >（AC+BC）2--------------------2分
∴(AB+CD) 2 >（AC+BC）2
又AB、CD、AC、BC均大于零
∴AB+CD>AC+BC即a+d>b+c--------------------1分

解析

略