题目

题型：不详难度：来源：

（1）问题探究
如图1，分别以△ABC的边AC与边BC为边，向△ABC外作正方形ACD₁E₁和正方形BCD₂E₂，过点C
作直线KH交直线AB于点H，使∠AHK=∠ACD₁作D₁M⊥KH，D₂N⊥KH，垂足分别为点M，N．试探究线段D₁M与线段D₂N的数量关系，并加以证明．
（2）拓展延伸
①如图2，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点C作直线K₁H₁，K₂H₂，分别交直线AB于点H₁，H₂，使∠AH₁K₁=∠BH₂K₂=∠ACD₁．作D₁M⊥K₁H₁，D₂N⊥K₂H₂，垂足分别为点M，N．D₁M=D₂N是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
②如图3，若将①中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变．D₁M=D₂N是否仍成立？（要求：在
图3中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明）

答案

解：（1）D₁M=D₂N。证明如下：
∵∠ACD₁=90°，∴∠ACH+∠D₁CK=180°﹣90°=90°。
∵∠AHK=∠ACD₁=90°，∴∠ACH+∠HAC=90°。
∴∠D₁CK=∠HAC。
在△ACH和△CD₁M中，∠D₁CK=∠HAC，∠AHC="∠C" M D₁=90°，AC="C" D₁，
∴△ACH≌△CD₁M（AAS）。∴D₁M=CH。
同理可证D₂N=CH。
∴D₁M=D₂N。
（2）①D₁M=D₂N成立。证明如下：
过点C作CG⊥AB，垂足为点G，

∵∠H₁AC+∠ACH₁+∠AH₁C=180°，
∠D₁CM+∠ACH₁+∠ACD₁=180°，∠AH₁C=∠ACD₁，
∴∠H₁AC=∠D₁CM。
在△ACG和△CD₁M中，∠H₁AC=∠D₁CM，∠AGC="∠C" M D₁=90°，AC="C" D₁，
∴△ACG≌△CD₁M（AAS）。∴CG=D₁M。
同理可证CG=D₂N。
∴D₁M=D₂N。
②作图如下：

D₁M=D₂N还成立。

解析

（1）根据正方形的每一个角都是90°可以证明∠AHK=90°，然后利用平角等于180°以及直角三角形的两锐角互余证明∠D₁CK=∠HAC，再利用“角角边”证明△ACH和△CD₁M全等，根据全等三角形对应边相等可得D₁M=CH，同理可证D₂N=CH，从而得证。
（2）①过点C作CG⊥AB，垂足为点G，根据三角形的内角和等于180°和平角等于180°证明得到∠H₁AC=∠D₁CM，然后利用“角角边”证明△ACG和△CD₁M全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=D₁M，同理可证CG=D₂N，从而得证。
②结论仍然成立，与①的证明方法相同。