题目

题型：不详难度：来源：

已知：如图，AD为△ABC的内角平分线，且AD=AB，CM⊥AD于M. 求证：AM=(AB+AC) 。

答案

证明：取AD、CD的中点为E，F点，连接EF，FM，

∴EF是三角形ACD的中位线，
∴EF∥AC，EF=AC，
∠DEF=∠CAD，
∵CM⊥AD，CF=DF
∴DF=MF，∠FDM=∠FMD=∠ADB，
∵AB=AD，
∴∠B=∠ADB=∠AMF，
∴A、B、M、F四点共圆，
∴∠BAM=∠BFM，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAM=∠CAM=∠FEM，
∠FEM+∠EFD=∠EFD+∠BAM=∠EFD+∠BFM=∠EFM=∠FDM=∠FMD，
∴∠EFM=∠EMF，
∴EF=EM=AC，
∵AE=AD=AB，
∴AM=AE+EM=（AB+AC）．
即AM=（AB+AC）．

解析

取AD、CD的中点为E，F点，连接EF，FM，求出EF∥AC，EF= AC，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠BAM=∠BFM，推出∠EFM=∠EMF，推出EF=EM，根据EF=EM=AC和AE=AD=AB求出即可．