题目

题型：不详难度：来源：

一位同学拿了两块三角尺，做了一个探究活动：将 的直角顶点放在的斜边的中点处，设．

（1）如图（1），两三角尺的重叠部分为，则重叠部分的面积为       ，周长为       ．
（2）将图（1）中的绕顶点逆时针旋转，得到图26（2），此时重叠部分的面积为           ，周长为           ．
（3）如果将绕旋转到不同于图（1）和图（2）的图形，如图（3），请你猜想此时重叠部分的面积为          ．
（4）在图（3）情况下，若，求出重叠部分图形的周长．

答案

解：（1）如图（1），两三角尺的重叠部分为，则重叠部分的面积为4，周长为4+2 ．
（2）将图（1）中的绕顶点逆时针旋转，得到图（2），此时重叠部分的面积为   4  ，周长为   8   ．
（3）如果将绕旋转到不同于图（1）和图（2）的图形，如图（3），请你猜想此时重叠部分的面积为  4 ．
（4）连结CM 证明△ADM≌△CGM （∠ADM=∠CGM，∠MCG=∠MAG=45⁰，AM=CM）
于是AD="CG" ，DM="GM" 所求L=CD+DM+MG+GC=AD+CD+2DM=4+2DM
过M做BC平行线 交AC于E点 即ME为△ABC中位线 ME="2" E为AC中点 所以AE=2
因为AD="1" 所以DE="2-1=1" 利用勾股定理RT△DME得到DM= 所以周长为4+2 

解析

（1）由等腰直角三角形的性质：底边上的中线与底边上的高重合，得到△AMC是等腰直角三角形，AM=MC=AC，则重叠部分的面积是△ACB的面积的一半，即可求出答案；
（2）易得重叠部分是正方形，边长为AC，面积为，周长为2AC．
（3）过点M分别作AC、BC的垂线MH、MG，垂足为H、G．求得Rt△MHE≌Rt△MGF，则阴影部分的面积等于正方形CGMH的面积．
（4）先过点M作ME⊥BC于点E，MF⊥AC于点F，根据∠DMF=∠GME，MF=ME，得出Rt△DFM≌Rt△GEM，从而得出GE=DF，CG=AD，最后根据AD和DF的值，算出DM=，即可得出答案．