题目

题型：四川省期末题难度：来源：

如下图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG。
（1）求证：①DE=DG； ②DE⊥DG；
（2）尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（3）连接（2）中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想；
（4）当时，请直接写出的值。

答案

解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴DC=DA，∠DCE=∠DAG=90°，
又∵CE=AG，
∴△DCE≌△GDA，
∴DE=DG，∠EDC=∠GDA，
又∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠ADE+∠GDA=90°
∴DE⊥DG；
（2）如图：
；
（3）四边形CEFK为平行四边形。
证明：设CK、DE相交于M点
∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，
∴AB∥CD，AB=CD，EF=DG，EF∥DG，
∵BK=AG，
∴KG=AB=CD，
∴四边形CKGD是平行四边形，
∴CK=DG=EF，CK∥DG，
∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°，
∴∠KME+∠DEF=180°，
∴CK∥EF，
∴四边形CEFK为平行四边形；
（4）∵，
∴设CE=x，CB=nx，
∴CD=nx，
∴DE²=CE²+CD²=n²x²+x²=（n²+1）x²，
∵BC²=n²x²，
∴==。