题目

题型：不详难度：来源：

阅读下列材料：
小明遇到一个问题：如图1，正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD和DA边上靠近A、B、C、D的n等分点，连接AF、BG、CH、DE，形成四边形MNPQ．求四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比（用含n的代数式表示）．
小明的做法是：
先取n=2，如图2，将△ABN绕点B顺时针旋转90゜至△CBN′，再将△ADM绕点D逆时针旋转90゜至△CDM′，得到5个小正方形，所以四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比是

1

5

；
请你参考小明的做法，解决下列问题：
（1）取n=3，如图3，四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比为______（直接写出结果）；
（2）在图4中探究，n=4时四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比为______（在图4上画图并直接写出结果）；
（3）猜想：当E、F、G、H分别是AB、BC、CD和DA边上靠近A、B、C、D的n等分点时，四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比为______（用含n的代数式表示）；
（4）图5是矩形纸片剪去一个小矩形后的示意图，请你将它剪成三块后再拼成正方形（在图5中画出并指明拼接后的正方形）．

答案

（1）正方形ABCD的面积是10个小正方形，四边形MNPQ是4个小正方形，
∴四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比为：

4

10

=

2

5

；（2分）

（2）如图1．（3分）
正方形ABCD的面积是17个小正方形，四边形MNPQ是9个小正方形，
∴四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比为：

9

17

；（5分）

（3）正方形ABCD的面积是n²+1个小正方形，四边形MNPQ是（n-1）²个小正方形，
∴四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比为：

(n-1)2

n2+1

；（7分）

（4）如图2．（8分）
设每个小正方形的面积是1，图形面积是10，
所以拼接后的正方形的边长是

10

，
∴拼接后的正方形的是正方形ABCD．（9分）