题目

题型：不详难度：来源：

阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1,在边长为的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1,当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时,求正方形MNPQ的面积.小明发现：分别延长QE,MF,NG,PH,交FA,GB,HC,ED的延长线于点R,S,T,W,可得△RQF,△SMG,△TNH,△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）

请回答：
（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙,不重叠）,则这个新的正方形的边长为__________；
（2）求正方形MNPQ的面积.
参考小明思考问题的方法,解决问题：
如图3,在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF,再分别过点D,E,F作BC,AC,AB的垂线,得到等边△RPQ,若,则AD的长为__________.

答案

（1）这个新的正方形的边长为a；（2）正方形MNPQ的面积为2；（3）AD的长为.

解析

试题分析：（1）四个等腰直角三角形的斜边长为a,其拼成的正方形面积为a²,边长为a；
（2）如题图2所示,正方形MNPQ的面积等于四个虚线小等腰直角三角形的面积之和,据此求出正方形MNPQ的面积；
（3）参照小明的解题思路,对问题做同样的等积变换．如答图1所示,三个等腰三角形△RSF,△QET,△PDW的面积和等于等边三角形△ABC的面积,故阴影三角形△PQR的面积等于三个虚线等腰三角形的面积之和．据此列方程求出AD的长度．
试题解析：（1）四个等腰直角三角形的斜边长为a,则斜边上的高为 a,
每个等腰直角三角形的面积为：a•a= a²,
则拼成的新正方形面积为：4×a²=a²,即与原正方形ABCD面积相等,
∴这个新正方形的边长为a；
（2）∵四个等腰直角三角形的面积和为a²,正方形ABCD的面积为a²,
∴S_{正方形MNPQ}=S_△ARE+S_△DWH+S_△GCT+S_△SBF=4S_△ARE=4××1²=2；
（3）如答图1所示,分别延长RD,QF,PE,交FA,EC,DB的延长线于点S,T,W．

由题意易得：△RSF,△QET,△PDW均为底角是30°的等腰三角形,其底边长均等于△ABC的边长．
不妨设等边三角形边长为a,则SF=AC=a．
如答图2所示,过点R作RM⊥SF于点M,则MF=SF=a,

在Rt△RMF中,RM=MF•tan30°=a× =a,
∴S_△RSF=a•a=a²．
过点A作AN⊥SD于点N,设AD=AS=x,
则AN=AD•sin30°=x,SD=2ND=2ADcos30°= x,
∴S_△ADS=SD•AN=•x•x=x²．
∵三个等腰三角形△RSF,△QET,△PDW的面积和=3S_△RSF=3×a²=a²,
∴S_△RPQ=S_△ADS+S_△CFT+S_△BEW=3S_△ADS,
∴=3×x²,得x²=,
解得x=或x=（不合题意,舍去）
∴x=,即AD的长为．