若0＜a，b，c＜1，且满足ab+bc+ca=1，求11-a+11-b+11-c的最小值． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

若0＜a，b，c＜1，且满足ab+bc+ca=1，求

1-a

1-b

1-c

的最小值．

答案

∵0＜a，b，c＜1
∴1-a，1-b，1-c∈（0，1）
∵

1-a

1-b

1-c

[（1-a）+（1-b）+（1-c）]
=1+

1-b

1-a

1-c

1-a

+1+

1-a

1-b

1-c

1-b

+1+

1-a

1-c

1-b

1-c

=3+(

1-b

1-a

1-b

)+(

1-c

1-a

1-c

)+(

1-c

1-b

1-c

)
≥3+2

(1-b)(1-a)

(1-a)(1-b)

(1-c)(1-a)

(1-a)(1-c)

(1-c)(1-b)

(1-b)(1-c)

=9
当且仅当a=b=c=

取等号
∴

1-a

1-b

1-c

≥

3-(a+b+c)

又∵2（a+b+c）²=（a²+b²）+（b²+c²）+（c²+a²）+4ab+4ac+4bc
≥2ab+2ac+2bc+4ab+4ac+4bc=6（ab+ac+bc）=6
∴a+b+c≥

∴3-(a+b+c)≤3-

∴

3-(a+b+c)

≥

9-3

1-a

1-b

1-c

≥

3-(a+b+c)

≥

9-3

（当且仅当a=b=c=

）时取等号
故

1-a

1-b

1-c

的最小值

9-3

核心考点

试题【若0＜a，b，c＜1，且满足ab+bc+ca=1，求11-a+11-b+11-c的最小值．】；主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]

举一反三

定义在（-∞，+∞）上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函数，下面是关于f（x）的判断：
①f（x）是周期函数；
②f（x）的图象关于直线x=1对称；
③f（x）在[0，1]上是增函数；
④f（2）=f（0）．
其中正确的判断是______（把你认为正确的判断都填上）．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

已知函数f（x）=2ax²+4（a-3）x+5是在区间（-∞，3）上的减函数，则a的取值范围是 ______．

题型：填空题难度：简单| 查看答案

已知向量

=（2，1），

=（1，7），

=（5，1），设X是直线OP上的一点（O为坐标原点），那么

•

的最小值是 ______．

题型：填空题难度：简单| 查看答案

已知函数y=

2-x

2+x

2x-2

的定义域为M，
（1）求M；
（2）当x∈M时，求函数f(x)=2lo

x+4log2x 的最大值．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

已知奇函数f（x）的图象关于直线x=-2对称，当x∈[0，2]时，f（x）=2x，则f（-9）=______．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

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