题目

题型：北京模拟题难度：来源：

在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，且AB=1，BC=2，tan ∠ADC=2，对角线AC和BO相交于点O，等腰直角三角板的直角顶点落在梯形的顶点C 上，使三角板绕点C旋转。
（1）如图（1），当三角板ECF旋转到点E落在BC边上时，线段DE与BF的位置关系是____，数量关系是____；
（2）继续按顺时针旋转三角板，旋转角为α请你在图（2）中画出旋转后的图形，判断（1）中结论是否成立，并说明理由；
（3）如图（3），当三角板的一边CF与梯形对角线AC重合时，EF与CD相交于点P，OF=，求PE的长。

答案

解：（1）垂直；相等；
（2）画图如图（1）（答案不唯一），（1）中结论仍成立证明如下：
过A作AM⊥DC于M，则四边形ABCM为矩形，
∴AM=BC=2，MC=AB=1，
∵tan∠ADC=2，
∴DM=2/2=1，
∴DC=BC，
∵△CEF是等腰直角三角形，
∴∠ECF=90°，CE=CF，
∴∠BCD=∠ECF=90°，
∴∠DCE=∠BCF，
∴△DCE≌△BCF，
∴DE=BF，∠1=∠2，
又∵∠3=∠4，
∴∠5=∠BCD=90°，
∴DE⊥BF，
∴线段DE和BF相等并且互相垂直。（3）∵ AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴AB/CD=OA/OC=OB/OD，
∵AB=1，CD=2，
∴OA/OC=OB/OD=1/2，
在Rt△ABC中

∴，
同理可求得，
∵
∴
∵∠1=90°-∠ACD=∠2，∠3=∠OBC=45°，
∴△CPE∽△COB，
∴
∴，
∴。