题目

题型：北京模拟题难度：来源：

已知：对于任意两个二次函数y₁=a₁x²+b₁x+c₁，y₂=a₂x²+b₂x+c₂，其中 a₁·a₂≠0，当|a₁|=|a₂|时，我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线，现有△ABM，A（-1，0），B（1，0），我们记过三点的二次函数的图象为“C_□□□”（”□□□“中填写相应三个点的字母），如过点A、B、M三点的二次函数的图象为C_ABM。
（1）如果已知M（0，1），△ABM≌△ABN，请通过计算判断C_ABM与C_ABN是否为全等抛物线；
（2）①若已知M（0，n），在图中的平面直角坐标系中，以A、B、M三点为顶点，画出平行四边形，并求抛物线C_ABM的解析式，然后请直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与C_ABM全等的抛物线解析式；
②若已知M（m，n），当m，n满足什么条件时，存在抛物线C_ABM？根据以上的探究结果，在图中的平面直角坐标系中，以A、B、M三点为顶点，画出平行四边形，然后请列出所有满足过平行四边形中三个顶点且能与C_ABM全等的抛物线C_□□□。

答案

解：（1）设抛物线CABM的解析式为y=ax²+bx+c，
如图（1），∵抛物线C_ABM过点A（-1，0），B（1、0），M（1，1），得
 解得
∴抛物线C_ABM式为y=-x²+1，
同理可得抛物线C_ABN的解析式为y=x²-1，
∴C_ABM与C_ABN是全等抛物线。 （2）①如图（2），
设抛物线C_ABN的解析式为y=a′x²+b′x+c′，
∵抛物线C_ABM过点A（-1，0），B（1，0），M（0，n），
∴0=a′-b′+c′，0=a′+b′+c′，n=c′
 解得a′=-n，b′=0，c′=n，
∴抛物线C_ABM的解析式为y=-nx²+n，
所有与C_ABM全等的抛物线有：
y=nx²-n，y=n（x-1）²，y=n（x+1）²，
②如图（3），当n≠0且m≠1时，存在抛物线C_ABM，
与C_ABM全等的抛物线有：C_ABN、C_AME、C_BMF。